Cos'è oscillatore armonico quantistico?

Oscillatore Armonico Quantistico

L'oscillatore armonico quantistico è un sistema modello fondamentale in meccanica quantistica. Descrive il comportamento di una particella soggetta a una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla sua posizione di equilibrio, come una massa collegata a una molla. Nonostante la sua semplicità, fornisce insight cruciali per comprendere sistemi più complessi come vibrazioni molecolari, fononi in solidi e campi quantizzati.

Hamiltoniana:

L'Hamiltoniana per l'oscillatore armonico quantistico in una dimensione è data da:

H = (p^2)/(2m) + (1/2)mω^2x^2

dove:

• H è l'Hamiltoniana (energia totale)
• p è l'operatore di momento
• m è la massa della particella
• ω è la frequenza angolare dell'oscillatore
• x è l'operatore di posizione

Autovalori dell'Energia (Livelli Energetici):

La risoluzione dell'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per questa Hamiltoniana porta a un insieme quantizzato di livelli energetici:

E_n = (n + 1/2)ħω

dove:

• E_n è l'energia del livello n-esimo
• n è un numero intero non negativo (n = 0, 1, 2, ...) chiamato numero quantico
• ħ è la costante di Planck ridotta (ħ = h/2π)

Notare che l'energia minima, quando n=0, è E_0 = (1/2)ħω, nota come energia di punto zero. Questo significa che anche nello stato fondamentale, la particella ha una certa energia e non è completamente ferma.

Autofunzioni:

Le autofunzioni corrispondenti a questi livelli energetici sono date da:

ψ_n(x) = N_n * H_n(√(mω/ħ)x) * exp(-(mω/2ħ)x^2)

dove:

• ψ_n(x) è l'autofunzione del livello n-esimo
• N_n è una costante di normalizzazione
• H_n(x) è l'n-esimo polinomio di Hermite

Le autofunzioni sono prodotti di polinomi di Hermite e una gaussiana, rendendole funzioni ben comportate che tendono a zero per x che tende a infinito. La gaussiana è centrata attorno alla posizione di equilibrio.

Operatori di Creazione e Annichilazione:

È conveniente introdurre operatori di creazione (a†) e annichilazione (a):

a = √(mω/2ħ)x + i√(1/2mħω)p
a† = √(mω/2ħ)x - i√(1/2mħω)p

Questi operatori soddisfano la relazione di commutazione [[a, a†] = 1](https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Relazione%20di%20commutazione). L'Hamiltoniana può essere riscritta in termini di questi operatori:

H = ħω(a†a + 1/2)

L'operatore a† aumenta l'energia di un quanto ħω, mentre l'operatore a la diminuisce. Agendo ripetutamente con a† sullo stato fondamentale, si possono generare tutti gli stati eccitati dell'oscillatore.

Applicazioni:

L'oscillatore armonico quantistico ha numerose applicazioni, tra cui:

• Vibrazioni molecolari: Descrive l'energia vibratoria tra gli atomi in una molecola.
• Fisica dello stato solido: Modella i fononi (quanti di vibrazione reticolare) nei solidi.
• Teoria dei campi quantistici: È utilizzato per descrivere i modi di oscillazione di un campo, come il campo elettromagnetico.
• Intrappolamento ionico: Descrive il moto di ioni intrappolati in un potenziale armonico.